coin_air

SEPARATION DES IMAGES: CRITERE DE RAYLEIGH POUR OUVERTURES CIRCULAIRES ET FENTES

Les deux courbes tracées sont les fonctions de diffraction en intensité pour une ouverture circulaire de diamètre unité et pour une fente de largeur unité. Ces diamètre et largeur unité sont conservés dans toute la suite.

Fonction ouverture circulaire: F₁ (u) = [ 2J ₁(pu) / (pu) ] ²

Fonction fente: F₂ (x) = [ sin (pu) / (pu) ] ² = sinc² (pu)

La première s'annule pour u ~ 1.2197, la seconde pour u = 1.

Nota Bene: certains auteurs notent sinc (u) ce qui est écrit ici sinc (pu).

Ci-dessous, luminance totale pour deux images de même intensité séparées en fréquence spatiale par les valeurs indiquées. La distance critique de Rayleigh est, par définition, égale à l'abscisse du premier minimum, soit 1.22 pour la diffraction par ouverture circulaire (cas de deux étoiles ponctuelles vue par un télescope, par exemple: l'ouverture est la pupille du miroir) et 1 pour la diffraction par fente (cas d'un spectroscope: la largeur de fente est la largeur éclairée du réseau ou du prisme).

L'intensité au centre de la figure pour la distance critique est, dans le premier cas, égale à 73.5% de l'intensité maximale; dans le second cas, à 81.1% de l'intensité maximale. Les deux courbes ci-dessous donnent les valeurs de l'intensité au centre, en fonction de la distance d.

Les simulations suivantes permettent d'évaluer la pertinence du critère de Rayleigh pour une observation à l'oeil. Les deux taches ne sont bien séparées que pour d > 1.22; pour d = 0.92 cependant il est déjà évident que deux objets (supposés ponctuels) sont présents. L'oeil ne fait pas de distinction lorsque d = 0.61; en revanche, une analyse photométrique détaillée de l'intensité en chaque point du plan focal révèle l'existence de deux sources. Autrement dit il est possible pour cette distance de déconvoluer l'image, mais à condition de disposer de suffisamment de photons (sources suffisamment intenses) et surtout de pouvoir s'affranchir des perturbations atmosphériques dans le cas d'une observation astronomique. La qualité optique des appareils doit bien sûr être irréprochable pour mener à bien une telle déconvolution. Il convient également de savoir a priori que l'on a affaire à deux objets ponctuels.

Images suivantes: cas de deux raies spectrales dans le plan focal d'un spectroscope. Les raies à la limite de Rayleigh sont moins bien distinctes que ne l'étaient les images stellaires de la simulation précédente. Contrairement aux étoiles lointaines, les raies possèdent des largeurs propres dont il faut tenir compte avent de tenter une analyse de l'image par déconvolution. Ces largeurs propres ont été supposées négligeables dans le calcul de la simulation présentée, c'est-à-dire que l'élargissement observé provient uniquement de la largeur (non infinie) du réseau de diffraction ou du prisme. De même, la fente d'entrée du spectroscope est supposée avoir une image de largeur nettement inférieure à la largeur d'une raie.

Ci-dessous quelques instructions Maple pour le dessin des intensités. Les unités sont arbitraires.

# INTENSITE NORMALISEE POUR LA TACHE DE DIFFRACTION PAR UNE OUVERTURE CIRCULAIRE, NULLE POUR r = 1.22:

f := r -> 4*(BesselJ(1,Pi*r)/(Pi*r))^2;

# INTENSITE NORMALISEE POUR LA DIFFRACTION PAR UNE FENTE, NULLE POUR x = 1:

f1 := x -> (sin(Pi*x)/(Pi*x))^2;

# SOMME DES INTENSITES POUR DEUX TACHES DE BESSEL:

g := (x,y,distance) ->

f(sqrt((x-0.5*distance)^2+y^2))+f(sqrt((x+0.5*distance)^2+y^2));

# SOMME DES INTENSITES POUR DEUX FIGURES DE DIFFRACTION PAR FENTES:

g1 := (x,distance) ->

f1(sqrt((x-0.5*distance)^2))+f1(sqrt((x+0.5*distance))^2);

# LIBRAIRIE GRAPHIQUE:

with(plots):

# FIGURE POUR DEUX ETOILES PROCHES DANS LE PLAN FOCAL D'UN TELESCOPE:

densityplot(g(x,y,1.22),x=-2..2,y=-1..1,grid=[100,50],scaling=CONSTRAI

NED,axes=BOXED,style=PATCHNOGRID);

# FIGURE POUR DEUX RAIES PROCHES EN SPECTROMETRIE:

densityplot(g1(x,1.22),x=-2..2,y=-1..1,grid=[100,50],scaling=CONSTRAIN

ED,axes=BOXED,style=PATCHNOGRID);