COIN D'AIR: LOCALISATION DES FRANGES

Les deux figures ci-dessous montrent un coin d'air éclairé en lumière monochromatique. La lumière incidente venant du côté droit est constituée d'une superposition d'OPPM mutuellement incohérentes, dont les vecteurs de Poynting sont répartis avec une densité uniforme dans le secteur angulaire représenté en rouge. Les vecteurs de Poynting des ondes réfléchies (en bleu) sont symétriques par rapport à une droite horizontale. Le coin d'air est schématisé en vert, avec un angle arbitraire (l'angle réel est beaucoup plus petit); son arête A se situe en bas à droite, au point de contact avec le secteur rouge. Le plan médian des franges de Fizeau passe par A; il est normal à la direction moyenne des vecteurs de Poynting réfléchis et la frange centrale est parallèle à cette direction moyenne. Lorsque l'angle d'éclairement est plus ouvert, le nombre de franges contrastées diminue: une dizaine seulement de part et d'autre de l'arête pour la simulation n°2 (angle de 36°), contre plusieurs centaines pour la simulation n°1 (angle de 7°). Noter que les vecteurs d'onde du faisceau incident sont supposés tous contenus dans le plan des figures; si l'on tenait compte d'une ouverture du faisceau perpendiculairement à ce plan, il apparaîtrait un brouillage supplémentaire des franges par superposition d'interfranges différents; les figures ne seraient cependant pratiquement pas modifiées pour les petites parties des champs d'interférences représentés ici.

Ci-dessous, graphes de l'intensité lumineuse le long du plan médian des franges, dans les deux cas précédents. Les rayons à droite délimitent les directions d'incidence (en rouge) et les directions réfléchies (en bleu). Avec l'angle de 36°, le contraste chute à une valeur de l'ordre de 0.2 après une vingtaine de franges à partir de la frange centrale. Il reste proche de l'unité après 50 franges pour l'angle de 7°.

Les deux figures suivantes montrent le détail des franges au voisinage de l'arête du coin d'air, pour le doublet du sodium (les ordres d'interférence étant peu élevés, le brouillage ne se produit pas) puis pour la lumière blanche solaire. Répartition uniforme des vecteurs de Poynting dans un secteur de 29°. On peut remarquer qu'en lumière blanche, un grand angle d'éclairement ne détériore pas beaucoup le contraste, étant donné le petit nombre de franges présentes avant le blanc d'ordre supérieur.

Ci-dessous: mêmes sources, même secteur d'éclairage de 29°, sous incidence moyenne normale (cas d'un interféromètre de Michelson par exemple).

Les deux dernières images sont semblables aux deux précédentes, mais la densité angulaire de puissance incidente est cette fois une fonction gaussienne, au lieu d'une fonction fenêtre. Il y a apodisation, c'est-à-dire suppression des systèmes secondaires de franges peu contrastées qui apparaissaient sur les images précédentes. Les courbes rouges sont les diagrammes de rayonnement en puissance (c'est le même dans les deux cas).

 

Ci-dessous les éléments de la feuille de calcul Maple permettant d'obtenir les deux figures précédentes. Les calculs sont simplifiés au maximum de manière à ne pas trop durer; en particulier, les unités sont toutes arbitraires. Les intégrations ont été discrétisées en employant la procédure sum. Il convient de choisir convenablement le pas de sommation de manière à minimiser le temps de calcul, tout en évitant les artefacts provenant d'un pas trop grand. La procédure int (intégration) fonctionne bien mais provoque des temps de calcul rédhibitoires, et a dû être abandonnée. Lorsque le calcul est néanmoins encore trop long, seul un quart de la figure est tracé sur une grille 100 x 100; elle est symétrisée ensuite sous Paint. Le temps de calcul total est en définitive inférieur à 5 mn. Pour l'emploi, faire un copier-coller de la suite de cette page sur une feuille de calcul Maple vierge puis Edit / Execute / Worksheet. Les figures en noir et blanc doivent être colorisées chacune en une couleur primaire; une synthèse additive permet ensuite d'avoir l'image définitive en couleurs.

# FONCTION INTENSITE D'INTERFERENCE DE DEUX ONDES (kx ET ky PULSATIONS SPATIALES DES FRANGES ET NON DE L'ONDE INCIDENTE):

f := (x,y,kx,ky) -> 1+cos(kx*x+ky*y);

# FONCTION GAUSSIENNE:

gaus := (k,km,kl) -> exp(-((k-km)/kl)^2);

# SOMME DES INTENSITES INTERFERENTIELLES DES ONDES REFLECHIES SOUS DIVERSES INCLINAISONS, PONDEREES PAR UNE DISTRIBUTION GAUSSIENNE:

g := (x,y,km,theta0,alpha,epsilon) ->

sum('gaus(theta0+k*epsilon,theta0,alpha)*f(x,y,km*cos(theta0+k*epsilon), km*sin(theta0+k*epsilon))','k'=-2*alpha/epsilon..2*alpha/epsilon);

# CI-DESSOUS: FONCTION h, SOMME DES INTENSITES DONNEES PAR LA FONCTION g, POUR UN ENSEMBLE DE LONGUEURS D'ONDE REPARTIES SELON UNE DISTRIBUTION GAUSSIENNE; 3 SOMMES DE CE TYPE DOIVENT ETRE EFFECTUEES POUR 3 GAMMES DE LONGUEURS D'ONDES (ROUGE, VERT, BLEU) EN VUE DE LA SYNTHESE ADDITIVE POUR RECONSTITUER L'IMAGE EN LUMIERE BLANCHE.

h := (x,y,km,kl,theta0,alpha,epsilon) ->

sum('g(x,y,km+l*eta,theta0,alpha,epsilon)*gaus(km+l*eta,km,kl)','l'=-2*kl/eta..2*kl/eta);

# PAS DE CETTE SECONDE SOMMATION:

eta := 10;

# OUVERTURE DE LA LIBRAIRIE GRAPHIQUE:

with (plots):

# TRACE D'UN DIAGRAMME POLAIRE DE RAYONNEMENT:

polarplot(gaus(t,0,0.25),t=-Pi/2..Pi/2,scaling=CONSTRAINED,thickness=2,axes=NONE);

# TRACE DE SEGMENTS FORMANT UN SECTEUR ANGULAIRE:

plot({[[0,0],[sin(Pi/2-0.25),cos(Pi/2-0.25)]],[[0,0],[sin(Pi/2+0.25),cos(Pi/2+0.25)]]},scaling=CONSTRAINED,thickness=2,axes=NONE,colour=RED);

# DESSIN DE L'INTENSITE POUR LA LUMIERE JAUNE DU SODIUM:

densityplot(h(x,y,560,1,Pi/2,0.25,0.01),x=-0.08..0.08,y=-0.08..0.08,grid=[200,200],scaling=CONSTRAINED,axes=BOXED,style=PATCHNOGRID);

# DESSINS POUR LES GAMMES ROUGE, VERT, BLEU SUCCESSIVEMENT:

densityplot(h(x,y,520,60,Pi/2,0.25,0.01),x=-0..0.08,y=0..0.08,grid=[100,100],scaling=CONSTRAINED,axes=BOXED,style=PATCHNOGRID);

densityplot(h(x,y,600,60,Pi/2,0.25,0.01),x=-0..0.08,y=0..0.08,grid=[100,100],scaling=CONSTRAINED,axes=BOXED,style=PATCHNOGRID);

densityplot(h(x,y,680,60,Pi/2,0.25,0.01),x=-0..0.08,y=0..0.08,grid=[100,100],scaling=CONSTRAINED,axes=BOXED,style=PATCHNOGRID);

© Marc Michaut 2006